Calderbank-Shor-Steane 码

阐述

设 $C_1,C_2$ 是两个 $[n,k_{1}][n,k_{2}]$ 经典代码且 $C_2\subset C_1$ ，且 $C_1, C_2^\perp$ 分别能改正 $t_1,t_2$ 个错误，则

\operatorname{CSS}(C_1,C_2)=\{{{|}}x+C_{2}\rangle \mid x\in C_{1}\}

能改正 $t_1$ 个位翻转错误和 $t_2$ 个符号翻转错误。定义陪集

x+C_{2}=\left\{y \mid y=x+c, c \in C_{2}\right\}

陪集的数量为 $|C_1|/|C_2|$ 。

该码的码字是 $|x+C_2\rangle$ ，其中 $x$ 是陪集的代表

x\in C_{1}:|x+C_{2}\rangle:=\frac1{\sqrt{|C_{2}|}}\sum _{y\in C_{2}}|x+y\rangle

因此

\operatorname{dim} \operatorname{CSS}\left(C_{1}: C_{2}\right)=\log _{2} \frac{\left|C_{1}\right|}{\left|C_{2}\right|}=\operatorname{dim} C_{1}-\operatorname{dim} C_{2}

\begin{aligned} H^{\otimes n}\left|x+C_{2}\right\rangle & =\frac{1}{\sqrt{2^{\operatorname{dim} C_{2}^{\perp}}}} \sum_{y \in R}(-1)^{x \cdot y} \sum_{z \in y+C_{1}^{\perp}}|z\rangle \\ & =\frac{\sqrt{2^{\operatorname{dim} C_{1}^{\perp}}}}{\sqrt{2^{\operatorname{dim} C_{2}^{\perp}}}} \sum_{y \in R}(-1)^{x \cdot y}\left|y+C_{1}^{\perp}\right\rangle,\end{aligned}

一个 $(s,t)$ 的偏移是

\left|x+C_{2}\right\rangle=\frac{1}{\left|C_{2}\right|^{1 / 2}} \sum_{c \in C_{2}}(-1)^{t \cdot(x+c)}|s+x+c\rangle